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之前写的规范场的真空，等我补充完相关知识，再接着写。这次写些简单的。因为公式图片是黑字透明底，这就使得部分读者在深色模式下阅读出现问题。因此，为了避免给读者带来这种不良的阅读体验，这次我尝试设置了暖色背景，算是比较好的解决方法了。如果读者有更好的建议，麻烦在后台给我留言哈~在开始讨论之前先做一个约定，本文用拉丁字母表示洛伦兹指标，希腊字母表示时空指标。

设四维时空流形为，度规号差为。假设它具有旋量结构，也就是存在的主丛以作为底流形，那么就容易构造出以为纤维的伴随丛，记为。构造弯曲时空狄拉克场的作用量，最重要的操作莫过于构造上的联络形式了，而这个联络是和原来的洛伦兹联络联系在一起的（严格来说是的洛伦兹联络）。

上的联络现在还是联络，我们要通过引入洛伦兹标架将其约化为洛伦兹联络。

假如引入的标架是

对偶标架

那么有

在此标架上，容易得到洛伦兹联络和原联络的关系正是我们要求的洛伦兹联络形式。也好也好，都可以看成是结构群为的纤维丛，其联络通过的群表示联系起来。根据的四维矢量表示和狄拉克旋量表示的关系：

其中

我们只要找出中的群表示的参数，即可将变换为上对应的联络形式。为此，令将的显式表达式代入即得，于是，上的联络形式为

相应的协变导数是

其中是的（局部）截面。

于是，根据最小替换原则，狄拉克场的作用量是

定义，那么作用量可以写成更熟悉的形式

这个作用量还可以写成更对称的形式，首先注意到

所以有

注意是的截面，其协变导数是

又因为是四矢量而非旋量，所以在场无穷远处为零的条件下可得

于是，类似于分部积分的操作，我们可以把作用量写成如下对称形式

有了作用量，再求运动方程之类的别的东西，就很容易了。

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ChungLee

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